Matriz
| ||||||
Matriz. Es una tabla bidimensional de números consistentes en cantidades abstractas con las que se pueden realizar diferentes operaciones, como por ejemplo la suma, multiplicación y descomposición de las mismas de varias formas, lo que también las hace un concepto clave en el campo del álgebra lineal. Las matrices se utilizan para describir sistema de ecuaciones lineales, realizar un seguimiento de los coeficientes de una aplicación lineal y registrar los datos que dependen de varios parámetros.
Definiciones y notaciones
Una matriz es una tabla cuadrada o rectangular de datos (llamados elementos o entradas de la matriz) ordenados en filas y columnas, donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales. A una matriz con m filas y n columnas se le denomina matriz m-por-n (escrito m×n), y a m y n dimensiones de la matriz. Las dimensiones de una matriz siempre se dan con el número de filas primero y el número de columnas después. Comúnmente se dice que una matriz m-por-n tiene un orden de m × n ("orden" tiene el significado de tamaño).
Dos matrices se dice que son iguales si son del mismo orden y tienen los mismos elementos. Al elemento de una matriz que se encuentra en la fila i-ésima y la columna j-ésima se le llama elemento i,j o elemento (i,j)-iésimo de la matriz. Se vuelve a poner primero las filas y después las columnas.
Casi siempre, se denotan a las matrices con letras mayúsculas mientras que se utilizan las correspondientes letras en minúsculas para denotar a los elementos de las mismas. Por ejemplo, al elemento de una matriz A que se encuentra en la fila i-ésima y la columna j-ésima se le denota como ai,j o a[i,j]. Notaciones alternativas son A[i,j] o Ai,j.
Además de utilizar letras mayúsculas para representar matrices, numerosos autores representan a las matrices con fuentes en negrita para distinguirlas de otros tipos de variables. Así A es una matriz, mientras que A es un escalar. Normalmente se escribe para definir una matriz A m × n con cada entrada en la matriz A[i,j] llamada aij para todo 1 ≤ i ≤ m y 1 ≤ j ≤ n. Sin embargo, la convención del inicio de los índices i y j en 1 no es universal: algunos lenguajes de programación comienzan en cero, en cuál caso se tiene 0 ≤ i ≤ m − 1 y 0 ≤ j ≤ n − 1. Una matriz con una sola columna o una sola fila se denomina a menudo Vector, y se interpreta como un elemento del espacio euclídeo.
Una matriz 1 × n (una fila y n columnas) se denomina vector fila, y una matriz m × 1 (una columna y m filas) se denomina vector columna. Ejemplo: La matriz A: es una matriz 4x3. El elemento A[2,3] o a2,3 es 7. La matriz B: es una matriz 1×5, o un vector fila con 5 elementos.
Operaciones básicas
Suma o adición
Dadas las matrices A y B de dimensión m x n, su suma A+B es la matriz de dimensión m x n que resulta al sumar los elementos que tienen la misma posición. Es decir, el elemento de la fila i y columna j de la matriz A+B es el resultado de la suma de los elementos de la fila i y columna j de las matrices A y B. Dicho matemáticamente,
(A + B)(i, j) = A(i, j) + B(i, j)
Ejemplo:
Propiedades
- Asociativa Dadas las matrices A, B y C de la misma dimensión, entonces
A + (B + C) = (A + B) + C
- Conmutativa Dadas las matrices A, B y C de la misma dimensión, entonces
A + B = B + A
- Existe neutro para la suma:
A + 0 = 0 + A = A
siendo 0 la matriz de la misma dimensión que A formada únicamente por ceros.
- Existe elemento opuesto:
A+(-A) = -A + A
siendo -A la matriz que resulta al cambiar el signo a todos los elementos de A.
Producto por un escalar
Dada una matriz A y un escalar c, su producto c·A se calcula multiplicando cada elemento de A por el escalar c. Esto es,
(c·A)(i, j) = c·( A(i, j) )
Ejemplo:
Propiedades
Sean A y B dos matrices de la misma dimensión y c y d dos escalares. Entonces,
- Clausura: c·A es una matriz de la misma dimensión que A.
- Asociatividad:
(c·d)·A = c·(d·A)
- Elemento Neutro:
1·A = A
- Distributividad:
c·(A + B) = c·A + c·B, (c + d)·A = c·A + d·A
Producto
El producto de dos matrices se puede definir sólo si el número de columnas de la matriz izquierda es el mismo que el número de filas de la matriz derecha.
Si A es una matriz m×n y B es una matriz n×p, entonces su producto matricial A·B es la matriz m×p dada por: el elemento de la fila i y columna j de A·B es el resultado de multiplicar el vector fila i de A por el vector columna j de B. Matemáticamente,
(A·B)(i, j) = A(i, :)·B(:, j)
Ejemplos:
Propiedades
Si los elementos de la matriz pertenecen a un cuerpo, y puede definirse el producto, el producto de matrices tiene las siguientes propiedades:
- Propiedad asociativa: (A·B)·C = A·(B·C).
- Propiedad distributiva por la derecha: (A + B)·C = A·C + B·C.
- Propiedad distributiva por la izquierda: C·(A + B) = C·A + C·B.
- En general, el producto de matrices tiene divisores de cero: Si A·B = 0 , no necesariamente A = 0 ó B = 0.
- El producto de matrices no verifica la propiedad de simplificación: Si A·B = A·C, no necesariamente B = C.
- El producto de dos matrices generalmente no es conmutativo, es decir, en general, A·B ≠ B·A.
- La división entre matrices, es decir, la operación que podría producir el cociente A / B, no se encuentra definida. Sin embargo, existe el concepto de matriz inversa, sólo aplicable a las matrices cuadradas.
Aplicaciones lineales
Las matrices pueden representar convenientemente aplicaciones lineales (también conocidas como "transformaciones lineales") entre dos espacios vectoriales de dimensión finita. Así, si ℝn es el espacio euclídeo n-dimensional cuyos vectores se pueden representar como vectores columna (matrices n-por-1), para cada aplicación lineal f : ℝn → ℝm existe una única matriz A m por n de tal forma que para cada vector x de ℝn,,se dice que la matriz A "representa" la aplicación lineal f, o que A es la matriz coordenada de f.
El producto de matrices claramente corresponde a la composición de las aplicaciones. Si la matriz k por m B representa otra aplicación lineal g : ℝm → ℝk, entonces la composición g o f se representa por BA: Esto se desprende de la mencionada propiedad asociativa del producto de matrices. Más en general, una aplicación lineal de un espacio vectorial n-dimensional en otro espacio vectorial m-dimensional (no necesariamente ℝn) se representa por una matriz m por n, a condición de que se haya elegido una base para cada uno de ellos.
Rango
El rango de una matriz A es la dimensión de la imagen de la aplicación lineal representada por A, que coincide con la dimensión de los espacios vectoriales generados por las filas o columnas de A. También puede ser definido sin referencia al álgebra lineal de la siguiente manera: el rango de una matriz m por n A es el más pequeño número k de tal manera que A puede escribirse como un producto BC donde B es una matriz m por k y C es una matriz k por n (aunque ésta no es una manera práctica de calcular el rango).
La transpuesta de una matriz m-por-n A es la matriz n-por-m AT (algunas veces denotada por At) formada al intercambiar las filas y columnas, i.e. La transposición de matrices tiene las siguientes propiedades: Si A describe una aplicación lineal respecto a dos bases, entonces la matriz AT describe la transpuesta de una aplicación lineal respecto a las bases del espacio dual.
Matrices cuadradas y definiciones relacionadas
Una matriz cuadrada es una matriz que tiene el mismo número de filas que de columnas. El conjunto de todas las matrices cuadradas n-por-n junto a la suma y la multiplicación de matrices, es un anillo que generalmente no es conmutativo. M(n,R), el anillo de las matrices cuadradas reales, es un Álgebra asociativa real unitaria. M(n,C), el anillo de las matrices cuadradas complejas, es un álgebra asociativa compleja.
La matriz identidad In de orden n es la matriz n por n en la cual todos los elementos de la diagonal principal son iguales a 1 y todos los demás elementos son iguales a 0. La matriz identidad se denomina así porque satisface las ecuaciones MIn = M y InN = N para cualquier matriz M m por n y N n por k. Por ejemplo, si n = 3: La matriz identidad es el elemento unitario en el anillo de matrices cuadradas.
Los elementos invertibles de este anillo se llaman matrices inversibles o matrices no singulares. Una matriz A n por n es invertible si y sólo si existe una matriz B tal que AB = In = BA. En este caso, B es la matriz inversa de A, identificada por A-1 . El conjunto de todas las matrices invertibles n por n forma un grupo (concretamente un grupo de Lie) bajo la multiplicación de matrices, el grupo lineal general. Si λ es un número y v no es un vector nulo tal que Av = λv, entonces se dice que v es un vector propio de A y que λ es su valor propio asociado. El número λ es un valor propio de A si y sólo si A−λIn no es invertible, lo que sucede si y sólo si pA(λ) = 0, donde pA(x) es el polinomio característico de A. pA(x) es un polinomio de grado n y por lo tanto, tiene n raíces complejas múltiples raíces si se cuentan de acuerdo a su multiplicidad. Cada matriz cuadrada tiene como mucho n valores propios complejos.
El determinante de una matriz cuadrada A es el producto de sus n valores propios, pero también puede ser definida por la fórmula de Leibniz. Las matrices invertibles son precisamente las matrices cuyo determinante es distinto de cero. El algoritmo de eliminación gaussiana puede ser usado para calcular el determinante, el rango y la inversa de una matriz y para resolver sistema de ecuaciones. La traza de una matriz cuadrada es la suma de los elementos de la diagonal, lo que equivale a la suma de sus n valores propios.
Las matrices en la Computación
Comunmente en la computación, por su facilidad y liviandad para manipular información. En este contexto, son la mejor forma para representar [gráficos], y son muy utilizadas en el cálculo numérico. El origen de las matrices es muy antiguo. Un Cuadrado mágico, 3 por 3, se registra en la literatura china hacia el 650 a. C. Es larga la historia del uso de las matrices para resolver Ecuaciones lineales. Un importante texto matemático chino que proviene del año 300 a. C. a 200 a. C., Nueve capítulos sobre el Arte de las matemáticas (Jiu Zhang Suan Shu), es el primer ejemplo conocido de uso del método de matrices para resolver un sistema de ecuaciones simultáneas.
Enlaces externos
- Ejemplos de suma de matrices
- Ejemplos de producto de matrices
- Ejemplos de matrices transpuestas
- Ejemplos de potencias de matrices
- Ejemplos de matrices inversas
- http://personal5.iddeo.es/ztt/Tem/T6_Matrices.htm
- http://html.rincondelvago.com/teoria-de-matrices.html
- http://www.ematematicas.net/matrices.php
Fuente
- a b Swaney, Mark. History of Magic Squares.
- Shen Kangshen et al. (ed.) (1999). Nine Chapters of the Mathematical Art, Companion and Commentary.
- Oxford University Press. cited byOtto Bretscher (2005).
- Linear Algebra with Applications, 3rd ed. edición, Prentice-Hall, pp. 1.
- Matemática II. De Buschiazzo y otros. Editorial Santillana. Capítulos 3 y 4
- Álgebra I, de Zill y Dewar. Editorial McGrawHill. Capítulos 9 y 10
