Leonardo Fibonacci
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Leonardo Fibonacci. Fue un matemático innovador del siglo XIII. Pasó a la posteridad por la publicación, en 1202, de su célebre Liber Abacci donde entre otras cosas introdujo la numeración indu-árabe.
Sumario
Su vida
Leonardo Pisano nació alrededor de 1170 en lo que hoy es Pisa, Italia. Su apodo, Fibonacci, significa "filius Bonacci" o "hijo de Bonacci". Fibonacci fue educado en el norte de África donde su padre, Guillermo, tuvo un puesto diplomático. El trabajo de su padre era representar a los comerciantes de la república de Pisa que operaban en Bugia, más tarde llamada Bougie y ahora llamada Bugía. Fibonacci fue educado en matemáticas en Bugía y viajó mucho con su padre y reconoció las enormes ventajas de los sistemas matemáticos usados en los países que visitó. Terminó sus viajes alrededor del año 1200 y en esa época regresó a Pisa.
Allí escribió un número de textos que jugaron un importante papel en el despertar de las antiguas habilidades matemáticas e hizo contribuciones significativas propias. Fibonacci vivió en los días anteriores a la imprenta, por lo que sus libros fueron manuscritos y la única forma de conseguir una copia de uno de ellos era solamente por esta vía.
Obras destacadas
En la actualidad se tienen copias de algunos de sus libros entre ellos se encuentran el Liber abaci (1202), Practica geometriae (1220), Flos (1225), y el Liber quadratorum. Se conoce que escribió algunos otros textos, que , desafortunadamente, están perdidos como es el caso de libro de aritmética comercial Di minor guisa al igual que su comentario sobre el Libro X de los Elementos de Euclides que contenía un tratamiento numérico de los números irracionales a los que Euclides se había aproximado desde un punto de vista geométrico.
Fibonacci fue contemporáneo con Jordano pero él fue un matemático bastante más sofisticado y sus logros fueron claramente reconocidos, aunque fueron las aplicaciones prácticas más que los teoremas abstractos los que le hicieron famoso para sus coetáneos. El emperador del Sacro Imperio Romano Germánico era Federico II. Había sido coronado Sacro Emperador Romano por el Papa en la Iglesia de San Pedro de Roma en noviembre de 1220.
Federico II apoyó a Pisa en sus conflictos con Génova en el mar y con Lucca y Florencia en tierra, y empleó los años hasta 1227 consolidando su poder en Italia. El control del estado fue introducido en el comercio y la industria, y fueron entrenados funcionarios civiles para supervisar este monopolio en la Universidad de Nápoles que Federico fundó para este propósito en 1224. Federico tuvo noticias de la obra de Fibonacci a través de los eruditos de su corte que habían mantenido correspondencia con él desde su regreso a Pisa alrededor del 1200. Estos eruditos incluían a Michael Scotus que era el astrólogo de la corte, Theodorus Physicus el filósofo de la corte y Dominicus Hispanus que sugirió a Federico que se encontrara con Fibonacci cuando la corte de Federico se reunió en Pisa alrededor del 1225. El Liber abaci, publicado en 1202 tras el regreso de Fibonacci a Italia, estaba dedicado a Scotus.
El libro estaba basado en la aritmética y el álgebra que Fibonacci había acumulado durante sus viajes. El libro, que llegó a ser ampliamente copiado e imitado, presentaba el sistema decimal indo-arábigo de valor posicional y el uso de los números árabes en Europa. De hecho, aunque es principalmente un libro sobre el uso de los números árabes, que llegaron a ser conocidos como "algoritmo", las ecuaciones lineales simultáneas también se estudian en esta obra. Ciertamente muchos de los problemas que Fibonacci considera en el Liber abaci eran similares a los aparecidos en las fuentes árabes.
La segunda sección del Liber abaci contiene una amplia colección de problemas dirigidos a los mercaderes. Están relacionados con el precio de los bienes, cómo calcular el beneficio en las transacciones, cómo convertir entre las distintas monedas en uso en los países del Mediterráneo, y problemas que tenían su origen en China. El Liber quadratorum, escrito en 1225, es la pieza más impresionante de la obra de Fibonacci, aunque no la obra por la que es más famoso. El nombre del libro significa el libro de los cuadrados y es un libro de la teoría de los números 10 que, entre otras cosas, examina los métodos para encontrar los triples Pitagóricos. Fibonacci primero destaca que los números cuadrados 11 pueden ser construidos como sumas de impares, esencialmente describiendo una construcción inductiva.
La sucesión de Fibonacci
Un problema de la tercera sección del Liber abaci condujo a la introducción de los números de Fibonacci y la secuencia de Fibonacci por la que es actualmente más recordado.
Esta secuencia, en la que cada número es la suma de los dos números precedentes, ha sido fructífera y aparece en muchas áreas diferentes de las matemáticas y la ciencia. Otro de los libros de Fibonacci es el Practica geometriae escrito en 1220 que está dedicado a Dominicus Hispanus a quien ya mencionamos anteriormente. Contiene una amplia colección de problemas de geometría organizados en ocho capítulos con teoremas basados en los Elementos y en Sobre las Divisiones de Euclides.
Además de los teoremas geométricos con pruebas precisas, el libro incluye información práctica para topógrafos, incluyendo un capítulo sobre cómo calcular la altura de objetos altos usando triángulos similares. En Flos Fibonacci da una precisa aproximación a la solución de 10x + 2x2 + x3 = 20, uno de los problemas a los que fue retado a resolver por Johannes de Palermo. Este problema no fue inventado por Johannes de Palermo, sino que lo tomó del libro de álgebra de Omar Khayyam. Fibonacci prueba que la solución de la ecuación no es un entero ni una fracción, ni la raíz cuadrada de una fracción. Da la solución aproximada 1.3688081075, correcta con nueve decimales, un logro admirable.
La regla
Los primeros términos de la sucesión de Fibonacci son:
a0 = 0
a1 = 1
a2 = 1
a3 = 2
a4 = 3
a5 = 5
a6 = 8
La sucesión se puede definir mediante la "regla": cada término es la suma de sus dos términos que le preceden (excepto los dos primeros términos que son 0 y 1). Matemáticamente, esta regla es an = an-1 + an-2 donde: an es el término en posición n, an-1 es el término anterior (posición n-1) y an-2 es el anterior a éste (posición n-2). Por ejemplo, el sexto término (n = 5) se calcula así: x5 = x5-1 + x5-2 = x4 + x3 = 3 + 2 = 5.
Propiedades
La sucesión de Fibonacci tiene numerosas propiedades:
- La suma de los n primeros términos es:
a0 + a1 + a2 +... + an = an+2 - 1
- La suma de los términos impares es:
a1 + a3 +... + a2n-1 = a2n
- La suma de los términos pares es:
a0 + a2 + a4 +... + a2n = a2n+1 - 1
- La suma de los cuadrados de los n priemros términos es:
a02 + a12 + a22 +... + an2 = an·an+1
- Si ap = a es un número primo, entonces p es un número primo, excepto para a4 = 3 (3 es primo pero 4 no).
- Los números consecutivos de Fibonacci son primos entre si.
- El cociente de dos números consecutivos de la serie se aproxima a la razón áurea. Esto es, an+1/an tiende a (1 +√(5))/2.
