Diferencia entre revisiones de «Teorema de Pitágoras»
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a<sup>2</sup> + b<sup>2</sup> = c<sup>2</sup> | a<sup>2</sup> + b<sup>2</sup> = c<sup>2</sup> | ||
Si añadimos tres triángulos iguales al original dentro del cuadrado de lado '''''c''''' formando la figura mostrada en la imagen, obtenemos un cuadrado de menor tamaño. Se puede observar que el cuadrado resultante tiene efectivamente un lado de '''''b - a'''''. | Si añadimos tres triángulos iguales al original dentro del cuadrado de lado '''''c''''' formando la figura mostrada en la imagen, obtenemos un cuadrado de menor tamaño. Se puede observar que el cuadrado resultante tiene efectivamente un lado de '''''b - a'''''. |
Revisión del 12:00 3 oct 2010
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c2=a2+b2
Historia
El Teorema de Pitágoras fue descubierto aproximadamente en el año 500 a.n.e y lleva este nombre porque su descubrimiento recae sobre la escuela pitagórica. Si bien los pitagóricos no descubrieron este teorema (ya era conocido y aplicado en Babilonia y la India desde hacía un tiempo considerable), sí fueron los primeros en encontrar una demostración formal del teorema. También demostraron el converso del teorema (si los lados de un triángulo satisfacen la ecuación, entonces el triángulo es recto).
Aplicaciones
El teorema de Pitágoras tiene numerosas aplicaciones, como el cálculo de la medida de los lados de un triángulo o de magnitudes en otros polígonos.
Conociendo la hipotenusa y un cateto, calcular el otro cateto
A partir de la expresión general del teorema de Pitágoras, despejamos los catetos a y b: Si c2=a2+b2 tenemos que
y
Reconocimiento de triángulos rectángulos.
Un triángulo es rectángulo si sus lados verifican la relación del teorema de Pitágoras. Si c2 ≠ a2 + b2, entonces puede ocurrir que:
- c2 > a2 + b2, el área del cuadrado sobre la hipotenusa es mayor que la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos. El triángulo es obtusángulo.
- c2 < a2 + b2, el área del cuadrado sobre la hipotenusa es menor que la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos. El triángulo es acutángulo.
Aplicaciones en Geometría
Geométricamente, el teorema de Pitágoras quiere decir que si dibujamos tres cuadrados, de forma que cada uno tenga el lado igual a uno de los tres lados de un triángulo rectángulo, se cumple que el área del cuadrado mayor es igual a la suma de las áreas de los otros dos.
Ahora bien, ¿esto ocurre solamente si la figura que dibujamos es un cuadrado o pasa también con otras? En concreto, si tenemos un triángulo rectángulo y dibujamos tres semicírculos cuyos diámetros son los tres lados del triángulo, ¿hay alguna relación entre las áreas de esos semicírculos?
El radio de cada uno de los semicírculos es la mitad del lado correspondiente, por lo que sus áreas son:
y de igual forma:
y
Sumando las áreas:
puesto que al ser el triángulo rectángulo se cumple que c2=a2+b2
Luego se verifica la igualdad de áreas con semicírculos.
Demostraciones
El Teorema de Pitágoras es de los que cuentan con un mayor número de demostraciones diferentes, utilizando métodos muy diversos. Las demostraciones están divididas en cuatro grandes grupos: las algebraicas, donde se relacionan los lados y segmentos del triángulo; geométricas, en las que se realizan comparaciones de áreas; dinámicas a través de las propiedades de fuerza, masa; y las cuaterniónicas, mediante el uso de vectores.
El Chou Pei Suan Ching
El Chou Pei es una obra matemática que se considera mayoritariamente fue escrita entre el 500 y el 300 a.n.e. Se cree que Pitágoras no conoció esta obra. El Chou Pei demuestra el teorema construyendo un cuadrado de lado (a+b) que se parte en cuatro triángulos de base a y altura b, y un cuadrado de lado c.
Demostración
Sea el triángulo rectángulo de catetos a y b e hipotenusa c. Se trata de demostrar que el área del cuadrado de lado c es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de lado a y lado b. Es decir: a2 + b2 = c2 Si añadimos tres triángulos iguales al original dentro del cuadrado de lado c formando la figura mostrada en la imagen, obtenemos un cuadrado de menor tamaño. Se puede observar que el cuadrado resultante tiene efectivamente un lado de b - a. Luego, el área de este cuadrado menor puede expresarse de la siguiente manera: (a-b)2 = a2 - 2ab + b2 Ya que (b-a)2 = (a-b)2 Es evidente que el área del cuadrado de lado c es la suma del área de los cuatro triángulos de altura a y base b que están dentro de él más el área del cuadrado menor: c2 = 4 *( a * b/2) + a2 - 2ab + b2= a2 + b2 y así ha quedando demostrado el teorema.
Demostración de Bhaskara
Bhaskara II, matemático y astrónomo hindú del siglo XII, da la siguiente demostración del teorema de Pitágoras. Con cuatro triángulos rectángulos de lados a, b y c se construye el cuadrado de lado c –izquierda-, en cuyo centro se forma otro cuadrado de lado (a-b). Redistribuyendo los cuatro triángulos y el cuadrado de lado (a-b), construimos la figura de la derecha, cuya superficie resulta ser la suma de la de dos cuadrados: uno de lado a –azul- y otro de lado b -naranja-. Se ha demostrado gráficamente que c2=a2+b2 Algebraicamente: el área del cuadrado de lado c es la correspondiente a los cuatro triángulos, más el área del cuadrado central de lado (a-b), es decir: c2=4 * ab/2+ (a-b) 2 expresión que desarrollada y simplificada da el resultado c2=a2+b2, y el teorema queda demostrado.
Demostración de Leonardo da Vinci
El teorema de Pitágoras también fue abordado por una personalidad del Renacimiento, Leonardo da Vinci. Partiendo del triángulo rectángulo ABC con los cuadrados de catetos e hipotenusa, Leonardo añade los triángulos ECF y HIJ, iguales al dado, resultando dos polígonos, cuyas superficies va a demostrar que son equivalentes:
- Polígono ADEFGB: la línea DG lo divide en dos mitades idénticas, ADGB y DEFG.
- Polígono ACBHIJ: la línea CI determina CBHI y CIJA.
Comparando los polígonos destacados en gris, ADGB y CIJA:
- Se aprecia de inmediato que tienen tres lados iguales: AD=AC, AB=AJ, BG=BC=IJ
- Asimismo es inmediata la igualdad entre los ángulos de los siguientes vértices:
- A de ADGB y A de CIJA
- B de ADGB y J de CIJA
Se concluye que ADGB y CIJA son iguales. De modo análogo se comprueba la igualdad entre ADGB y CBHI. Además, un giro de centro A, y sentido positivo, transforma CIJA en ADGB. Mientras que un giro de centro B, y sentido negativo, transforma CBHI en ADGB. Todo ello permite establecer que los polígonos ADEFGB y ACBHIJ tienen áreas equivalentes. Si a cada uno se le quita sus dos triángulos –iguales- las superficies que restan forzosamente serán iguales. Y esas superficies no son sino los dos cuadrados de los catetos en el polígono ADEFGB, por una parte, y el cuadrado de la hipotenusa en el polígono ACBHIJ, por la otra. El teorema de Pitágoras queda demostrado.
Fuentes
- Geometría en Kalipedia.com Consultado 30 septiembre de 2010
- Microsoft ® Encarta ® 2007. © 1993--2006 Microsoft Corporation. Reservados todos los derechos.
- TEOREMA DE PITÁGORAS Consultado 30 septiembre de 2010
- Teorema de Pitágoras - Wikipedia Consultado 1 octubre de 2010