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# Los [[Cuerpo numérico|cuerpos numéricos]] de los [[Número racional|racionales]], [[Número real|reales]] y [[Número complejo|complejos]] son espacios vectoriales usando como escalares sus mismos conjuntos. | # Los [[Cuerpo numérico|cuerpos numéricos]] de los [[Número racional|racionales]], [[Número real|reales]] y [[Número complejo|complejos]] son espacios vectoriales usando como escalares sus mismos conjuntos. | ||
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# Teniendo como conjunto de escalares a los reales y [[Archivo:R_de_x_definicion.gif|middle]] el conjunto de todos los [[polinomio|polinomios]] de una sola [[variable]] (inclusive el [[polinomio nulo]]) y coeficientes reales y la [[suma de polinomios]] y el producto de un real por un polinomio es también un espacio vectorial. | # Teniendo como conjunto de escalares a los reales y [[Archivo:R_de_x_definicion.gif|middle]] el conjunto de todos los [[polinomio|polinomios]] de una sola [[variable]] (inclusive el [[polinomio nulo]]) y coeficientes reales y la [[suma de polinomios]] y el producto de un real por un polinomio es también un espacio vectorial. | ||
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Todo espacio vectorial ''<A,K,*,@,&,^>'' cumple también las siguientes propiedades: | Todo espacio vectorial ''<A,K,*,@,&,^>'' cumple también las siguientes propiedades: | ||
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+ | * '''Producto del neutro escalar con vectores''': Sea ''e<sub>K</sub>'' el elemento neutro para ''&'' y ''x'' un vector cualquiera de ''E'', se satisface ''e<sub>K</sub>@x=e'' donde ''e'' es el vector neutro. | ||
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# Teresita Noriega, Héctor de Arazoza Rodríguez. [[Álgebra]]. Tomo I. [[Editorial Pueblo y Educación]]. [[La Habana]]. [[1986]]. | # Teresita Noriega, Héctor de Arazoza Rodríguez. [[Álgebra]]. Tomo I. [[Editorial Pueblo y Educación]]. [[La Habana]]. [[1986]]. | ||
# Carl B. Allendoerfer, Cletus O. Oakley. Introducción moderna a la [[Matemáticas superiores|matemática superior]]. Ediciones del Castillo, [[Madrid]]. [[1967]]. | # Carl B. Allendoerfer, Cletus O. Oakley. Introducción moderna a la [[Matemáticas superiores|matemática superior]]. Ediciones del Castillo, [[Madrid]]. [[1967]]. | ||
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última versión al 13:35 9 ago 2019
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Espacio vectorial. En álgebra dícese de la estructura algebraica conformada por la quíntupla <A,K,*,@,&,^>, donde A es un conjunto no vacío, tales que <K,&,^> es un cuerpo algebraico cuyos valores son llamados escalares, *, @, & y ^ son operaciones binarias; y se cumple estrictamente que * es cerrada, asociativa y conmutativa, sobre ella existe el elemento neutro y también los inversos de cada elemento de A. @ y * satisfacen la distributividad de sus operaciones.
También lo hacen & y ^ respecto a * y @, permitiendo transformaciones cuando hay operaciones combinadas.
Definiciones
Sean los conjuntos no vacíos A y K y las operaciones binarias *, @, & y ^ definidas según las expresiones:
- (Suma del espacio vectorial).
- (Producto de escalar por vector).
- (Suma entre escalares).
- (Producto entre escalares).
teniendo a <K,&,^> por cuerpo algebraico que satisfacen los siguientes axiomas:
- Clausura de *: . * es cerrada.
- Asociatividad de *: Para todos x, y, z de A, (x*y)*z=x*(y*z).
- Conmutatividad de *: Para todos x e y en A se cumple x*y=y*x.
- Existencia del neutro en *: Existe uno y solo un elemento e de A tal que para todo x de A se cumple que x*e=x. e es llamado vector neutro o cero del espacio.
- Existencia de los inversos en *: Para todo x en A, existe un único elemento x" también en A, que satisface x*x"=e. A x" se le denomina inverso u opuesto de x según *.
- Existencia del neutro escalar para @: Para todo x de A, existe un elemento u de K que satisface u@x=x al que se conoce como elemento unidad de @.
- Distributividad de @ y *: Para todos x de K, y e z de A, se cumplen:
- x@(y*z)=x@y+x@z
- (y*z)@x=y@x*z@x
- Distributividad de &, @ y *: Para todos x e y de K, z de A se cumple (x&y)@z=(x@z)*(y@z).
- Asociatividad de ^ y @: Para todos x e y de K, z de A se cumple (x^y)@z=x@(y@z).
Se dice que la estructura <A,K,*,@,&,^> es un espacio vectorial.
Los elementos de K se denominan escalares y los de E vectores.
Es común encontrar una versión de la definición previa donde la estructura del espacio vectorial se simplifica a una terna <E,*,@>, porque se considera a * definida también sobre el cuerpo K de los escalares (asociándola a &) y análogamente, @ equivale a la definición de ^ si los operandos son escalares. También suele suponerse que E depende a lo interno de K.
Aprovechando definiciones de otras estructuras algebraicas, pudieran encapsularse los primeros 5 axiomas diciendo que <E,*> debe ser un grupo abeliano.
Ejemplos
- Los cuerpos numéricos de los racionales, reales y complejos son espacios vectoriales usando como escalares sus mismos conjuntos.
- Los vectores del espacio tridimensional con la suma de vectores y el producto de un real por un vector tridimensional conforman un espacio vectorial.
- Sean las matrices de n filas y m columnas de coeficientes complejos son un espacio vectorial con las operaciones suma de matrices y producto de matriz por escalar complejo definidos respectivamente como sigue:
- Teniendo como conjunto de escalares a los reales y el conjunto de todos los polinomios de una sola variable (inclusive el polinomio nulo) y coeficientes reales y la suma de polinomios y el producto de un real por un polinomio es también un espacio vectorial.
Propiedades de los espacios vectoriales
Todo espacio vectorial <A,K,*,@,&,^> cumple también las siguientes propiedades:
- Producto de escalar por vector neutro: Para todo escalar k de K y e es el vector neutro, se cumple k@e=e.
- Producto del neutro escalar con vectores: Sea eK el elemento neutro para & y x un vector cualquiera de E, se satisface eK@x=e donde e es el vector neutro.
Fuentes
- Teresita Noriega, Héctor de Arazoza Rodríguez. Álgebra. Tomo I. Editorial Pueblo y Educación. La Habana. 1986.
- Carl B. Allendoerfer, Cletus O. Oakley. Introducción moderna a la matemática superior. Ediciones del Castillo, Madrid. 1967.
- Artículo: Espacio vectorial. Disponible en: "es.wikipedia.org". Consultado: 27 de enero de 2012.