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* Colectivo de Autores. [[Álgebra lineal]]. [[Editorial Félix Valera]]. [[La Habana]], [[2003]]. | * Colectivo de Autores. [[Álgebra lineal]]. [[Editorial Félix Valera]]. [[La Habana]], [[2003]]. | ||
− | * | + | * L.I. Goloviná: ''Álgebra lineal y algunas de sus aplicaciones'', Editorial Mir, Moscú- 1980 |
* Proskuriakov, I. Problemas de Álgebra Lineal. Editorial Mir, Moscú. [[1986]]. | * Proskuriakov, I. Problemas de Álgebra Lineal. Editorial Mir, Moscú. [[1986]]. | ||
* [https://es.wikipedia.org/wiki/Vector_propio_y_valor_propio Valor propio en Wikipedia]. Consultado el [[4 de septiembre]] de [[2017]]. | * [https://es.wikipedia.org/wiki/Vector_propio_y_valor_propio Valor propio en Wikipedia]. Consultado el [[4 de septiembre]] de [[2017]]. | ||
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última versión al 01:33 5 sep 2019
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Vector propio. (Del alemán eigenvert traducido como autovector) Dícese del vector V que en una aplicación lineal T multiplica al valor propio no nulo k en la forma T(V)=kV.
El termino eigenvert se atribuye al matemático David Hilbert en 1904.
Vectores y valores propios juegan un rol medular en la simplifación operatoria (solo un producto por fila) dentro de las transformaciones lineales, al permitir hallar a la matriz diagonal semejante a la matriz cuadrada asociada a T.
Definición
Sea T una aplicación o transformación lineal endomórfica de orden N, se dice que el vector V no nulo es un vector propio si y sólo se transforma de la manera:
- T(V)=kV
donde k es un valor propio.
Ejemplo
Sea la matriz A:
asociada a la aplicación lineal T:R3->R3; obtener los valores propios de A.
1ro. Se plantea |A-kI|=0 para obtener el polinomio característico:
que es reducido a:
- -k3+6k2+2k-12=0 (Polinomio característico de A)
2do. Se determinan las raíces del polinomio:
- -k3+2k+6k2-12=0
- =-k(k2-2)+6(k2-2)
- (6-k)(k2-2)=0
siendo 6 y que son valores propios de A por ser reales.
3ro. Se calculan los subespacios vectoriales de cada valor propio, sustituyéndolos por k en el sistema:
Para k=6 el subespacio vectorial es {(a,b,c)€R3 | a=b=c}.
Luego se determina un vector no nulo cualquiera por cada subespacio vectorial que serán vectores propios del correspondiente valor propio. En el caso del valor propio 6 puede un vector propio suyo sería (1,1,1).
Importancia
Los valores y vectores propios son clave para la diagonalización de matrices cuadradas, proceso que se hace mediante la resolución del polinomio característico de la matriz cuadrada asociada a la transformación lineal en cuestión, usando por lo general el teorema de Cayley-Hamilton. Una vez encontrada la matriz diagonal semejante, los cálculos de la aplicación lineal se simplifican notablemente a meros productos. Para matrices superiores al orden 3, se obtendrán polinomios que no tendrán un método general de factorización.
Véase también
- Valor propio
- Matriz cuadrada
- Matriz identidad
- Madriz diagonal
- Determinante
- Polinomio característico
- Teorema de Cayley-Hamilton
Fuentes
- Colectivo de Autores. Álgebra lineal. Editorial Félix Valera. La Habana, 2003.
- L.I. Goloviná: Álgebra lineal y algunas de sus aplicaciones, Editorial Mir, Moscú- 1980
- Proskuriakov, I. Problemas de Álgebra Lineal. Editorial Mir, Moscú. 1986.
- Valor propio en Wikipedia. Consultado el 4 de septiembre de 2017.