Producto interior (álgebra lineal)
Producto interior. También lo nombran producto interno o producto escalar, que es una aplicación que a dos elementos de un espacio lineal le hace corresponder un elemento del cuerpo de escalares.
Caso real
Sea V un espacio lineal real. Un producto interno en V es una función que asigna a cada par ordenado de vectores u y v en V, un número real que se denota < u, v > y verifica las siguientes formalidades:
- 1. < u, v > = < v , u> para todo u y v en V,.
- 2. <α u+β v, w > = α< u, w > +β< v, w >, además < w , α u+ β v > = α < w, u > + β < w, v > para todos u , v y w en V , α y β números reales.
- 3. < u, u > positivo si v ≠ 0. Además < u, u > = 0 s,s,s u = 0.
- El ángulo φ entre dos vectores diferentes de 0, u y v se define por su coseno:
- cosφ = < u, v > / < u, u > 1/2< v, v >1/2
Caso complejo
Sea V un espacio lineal complejo. Un producto interno en V es una función que asigna a cada par ordenado de vectores u y v' en V, un número complejo posiblemente que se denota < u, v > y verifica las siguientes condiciones:
- 1. < u', v > = < v , u>* para todo u y v en V, donde * designa el conjugado del resultado en número complejo.
- 2. <α u'+β v, w > = α< u, w > +β< v, w >, además < w , α u+β v > =α< w, u > +β< w, v > para todos u , v y w en V , α y β números reales.
- 3. < u, u > positivo si v ≠ '0. Además < u, u > = 0 s,s,s u = 0.
Ejemplos
- Se conoce como producto interno típico en Rn al número real definido como < u, v > = u1v1 +...+unvn
- Se considera como producto interior típico en Cn definido como <u, v >= u*1 v1 +...+u*nvn
- <u, v > igual a la integral definida entre 0 y 1 del producto de las funciones u(t) y v(t) en el espacio real de las funciones continuas de dominio [0, 1].
Teorema de Schwarz
Fuentes
- Álgebra lineal de Maltsev.
- Álgebra lineal de Serge Lange.
- Álgebra Lineal de Barbolla y otros.