Derivación de funciones compuestas
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Derivación de funciones compuestas. Para derivar funciones compuestas en una sola variablea se utliza la regla de la cadena, en el caso de funciones de más de una variable la regla de la cadena tiene varias versiones que dan la regla de diferenciación de la composición de funciones para diferentes casos.
Primer caso
Si z= f(x,y) es una función diferenciable de los argumentos x e y, que son a su vez funciones diferenciables de una variable independiente t:
x = ð(t), y = φ(t)
La derivada de la función compuesta z = f[ð(t),φ(t)] se puede calcular por la fórmula:
Archivo:Derivada compuesta una variable.jpg
Ejemplo 1
Segundo caso
Si z es una función compuesta de varias variables independientes, por ejemplo, z = f(x,y) donde x = ð(s,t) e y = φ(s,t) s y t son variables independientes, f, ð y φ son funciones diferenciables, las derivadas parciales de z con respecto a s y t se expresan así:
Ejemplo
Si z = f (x, y) = x2 y − y 4 x3 donde x = t3 + 2s e y = s ln t, entonces las derivadas parciales de z respecto de s y t son:
d͡z/d͡x = (2xy − 3y4x2) 2 + (x2 − 4y3 x3)ln t
d͡z/d͡y= (2xy − 3y4x2)3t2 + (x2 − 4y3 x3)s/t
sustituyendo los valores de x = t3 + 2s e y = s ln t
Fuente
- Cálculo. Roland Larson y otros.
- Cálculo Diferencial e Integral, Willian Granville y otros
