Distributividad

La distributividad o a propiedad distributiva es una ley matemática que aparece para ligar dos operaciones definidas en un conjunto: las que podemos llamar suma y producto. La primera vez que nos encontramos es en el caso de los números naturales cuando queremos multiplicar la suma indicada de dos naturales por un tercer número.

Definición

En forma generalizada sean el conjunto S, en el que hemos definido la suma indicada por + y el producto con ×.

Para los elementos m,n,p se S, se tiene m×(n+p) = m×n + m×p que se llama propiedad distributiva por la derecha
Con los elementos dados y el mismo conjunto, se tiene la variante: (n+p)×m = n×m + p×n, propiedad distributiva por la izquierda.

Es necesario considerar estos dos casos, que resultan diferentes cuando el producto no es conmutativo.

Si la distributividad funciona por ambos lados se dice simplemente propiedad distributiva.

Diversos casos

1. En los diversos sistemas numéricos: de los naturales, de los enteros, de los racionales, de los reales, de los complejos se cumple para los números a, b y c:

a×(b+c) = a×b + a×c
a×(b-c) = a×b - a×c
(b+c)÷a = b÷a + c÷a, solamente por la derecha
(b-c)÷a = b÷a - c÷a, só por la derecha
(ab)n = anbn, la potencia de un producto es igual al producto de las potencias.
(a÷b)n = an ÷ bn, la potencia de un cociente es igual al cociente de las potencias.
Se cumple también que la raíz n-ésima de un producto ( cociente) es igual al producto ( cociente) de las raíces n-ésimas

2. En el caso de los conectivos lógicos disyunción inclusiva ( V) y conjunción (y), se tienen

pv(qyr) = pvq y pyr
py(qvr) = pyq v qyr, como ambas son conmutativas respecto a la disyunción inclusiva y a a la conjunción hay distributividad por la derecha y por la izquierda
py(q * r) = p y q * p y r la conjunción y es distributiva respecto a la disyunción exclusiva *

3. Para la unión e intersección de conjuntos también se cumple, con paralelismo pleno, en los tres casos:

Unión respecto a la intersección
Intersección respecto a la unión
Intersección respecto a la diferencia simétrica.

4. Para la suma y resta y la derivación D de funciones reales. Lo mismo para la suma y resta y la integral indefinida I de funciones reales:

D(f+g) = Df + Dg
D(f-g) = Df -Dg
I(f+g) = If +Ig
I(f-g) = Df - Dg
En el caso del logaritmo de dos números positivos no funciona la distributividad, pero sí ocurre que el logaritmo de una potencia es igual a la suma de los logaritmos de los factores. En este caso hay un cambio dialéctico, pues el producto es reemplazado por la suma, que en el fondo es una simplificación operativa y facilita enormemente los respectivos cálculos.

5. Para los vectores, elementos de un espacio vectorial donde hay diferentes productos, estos son distributivos respecto a la suma de vectores.

para el producto por un escalar a(V + W) = aV + aW, donde a es un esalar ( número real o complejo), V y W son vectores
para el producto escalar de vectores V•(U + W) = V•U + V•W, U, V, W son vectores
Para el producto vectorial de vectores en R3 V×(U + W) = V×U + V×W distributiva por la izquierda
Para el producto vectorial de vectores en R3 (U + W)×V = U×V + W×V distributiva por la derecha

Bibliografía

  • Rea Ravelo Introducción a la lógica
  • Paul Halmos Teoría intuitiva de conjuntos
  • Herstein Álgebra Moderna