Ecuación algebraica

La ecuación algebraica constituye la viga maestra del álgebra clásica, cuyo estudió generó el concepto de grupo: objeto notable del álgebra abstracta. En la educación básica se enseña a resolver ecuaciones de primer y segundo grados. En álgebra superior se aprende a resolver las ecuaciones cúbicas y de cuarto grado, las que resultan más cómodas al resolverlas por métodos de aproximación. Se sabe también, en general, las ecuaciones de grado no menor del quinto no se pueden resolver mediante fórmulas que comporten radicales.

Definición

Una ecuación algebraica es aquella donde p(x) = 0, donde p(x) es un polinomio con coeficientes racionales . El número c elemento de un cuerpo numérico se llama raíz de la ecuación algebraica. O de otra manera cuando x-c es divisor de p(x); en el caso de que (x-2)2 es divisor de p(x) c es raíz doble. Si (x-c)n es divisor de p(x) se dice que c es raíz de orden n.

Otras denominaciones

Todas la demás ecuaciones se denominan no algebraicas. Entre estas se cuentan las ecuaciones irracionales, en las que la incógnita x se encuentra bajo el símbolo de una raíz. La ecuaciones no algebraicas en que la incógnita aparece bajo el símbolo de funciones trascendentes se llaman ecuaciones trascendentes. Son ecuaciones trascendentes las ecuaciones trigonométricas, las exponenciales y las logarítmicas [1]

Consideraciones

  • Las fórmulas para la resolución de ecuaciones de tercer y cuarto grado fueron descubiertos en el siglo XVI. Para las ecuaciones cúbicas, la fórmula de Cardano- Tartaglia; las ecuaciones cuárticas, con la de Ferrari.
  • la forma general de una ecuación de n-ésimo grado (donde n es un entero positivo) es a0 xn+a1 xn-+a2 xn-2+...+ an-1 x+ an = 0.
  • Para ningún n ≥ 5 existe fórmula que exprese la raíz de una ecuación de n-ésimo grado mediante radicales que subsuman operaciones con los coeficientes de la ecuación. Es el acaso de x5 -4x -2 = 0, esta tiene 5 raíces: 3 reales y dos complejas, sin embargo, ninguna de ellas puede expresarse mediante radicales, de modo que es «irresoluble por radicales» [2]
  • El conjunto de los números reales o complejos que son raíces de ecuaciones con coeficientes enteros se llaman números algebraicos en oposición a los números trascendentesque no son raíces de ninguna ecuación con coeficientes enteros.
  • La inexistencia de fórmulas generales, que involucren los coeficientes, para resolver las ecuaciones de n-ésimo grado si n ≥5 fue demostrada por el joven matemático noruego, Niels Henrik Abel (1802-1829).
  • La existencia de ecuaciones con coeficientes enteros irresolubles por radicales fue establecida por GaloiS (1811-1832), él también halló las condiciones en las que se pueden resolver por radicales. Todos estos hallazgos impulsaron la creación de una inédita y profunda propuesta, la teoría de grupos, aporte genial del joven matemático frances y revolucionario, Evariste Galois.
  • La resolución de ecuaciones de grado ≥ 5 (aun para mayor de 2) se hace por diversos métodos de aproximación, con mayor rapidez que con uso de fórmulas [3]. Entre los más conocidos: método de tangente de Newton, bisección.

Teorema fundamental del álgebra

«Todo polinomio de grado positivo con coeficientes complejos tiene al menos una raíz compleja» [4].

Referencias

  1. ↑ N. G. Taktárov: manual de matemáticas superiores, Editorial URSS Moscú (2009)
  2. ↑ A. G. Kurosch. ecuaciones algebraicas de grados arbitrarios, Ed. Mir, Moscú 1983
  3. ↑ Kurosch. Op.cit.
  4. ↑ L.S. Pontriaguin: Algebra, Editorial URSS, Moscú (2008)

Fuente bibliográfica

  • J.V. Uspensky : Teoría de ecuaciones, Limusa Noriega Editores, Ciudad México, 1987

Véase además

  • Número real
  • Polinomio
  • Número complejo
  • Grupo algebraico
  • Teoría de Galois
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