Múltiplos y divisores
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Múltiplos y divisores de un número. Conceptos matemático utilizado para conocer un número o una cantidad que contiene a otro u otra varias veces exactamente y para conocer la cantidad por la cual ha de dividirse otra.
Sumario
Definición de múltiplo de un número
Un número es múltiplo de otro si se obtiene multiplicando este último por un número natural. En otras palabras:
- Un número a es múltiplo de otro número b, si b está contenido un número exacto de veces dentro de a.
- Un número a es múltiplo de b si somos capaces de encontrar otro número c, de tal manera que al multiplicar c x b nos dé a.
- Múltiplo, de un número entero, b, es otro número, a, tal que a = b • c, para algún entero c.
Ejemplo: Podemos afirmar que 12 es múltiplo de 4 porque: —el 4 está contenido un número exacto de veces dentro de 12; —porque existe un número, en este caso el 3, que al multiplicarlo por 4 nos da 12.
La relación “a es múltiplo de b” se puede expresar así:
Propiedades de los múltiplos
1. Todo número distinto de 0 es múltiplo de sí mismo y de la unidad.
2. Los múltiplos de los números son infinitos.
3. Hay números que pueden ser múltiplos de varios números a la vez
4. La suma de varios múltiplos de un número es otro múltiplo de dicho número.
5. La diferencia de dos múltiplos de un número es otro múltiplo de dicho número.
6. Si un número es múltiplo de otro, y éste lo es de un tercero, el primero es múltiplo del tercero.
7. Si un número es múltiplo de otro, todos los múltiplos del primero lo son también del segundo.
Los divisores de un número
Un número es divisor de otro si cuando dividimos el segundo entre el primero, el resto de la división es 0.
En otras palabras: Decimos que un número a es divisor de otro número b, si la división de b entre a es exacta.
También podemos decir que si a es divisor de b, entonces b es múltiplo de a. También se dice que “b es divisor de a” o que “b divide a a”, y se expresa así:
Es decir, las afirmaciones “a es múltiplo de b” y “b es divisor de a” son equivalentes:
Propiedades de los divisores
- La unidad es divisor de cualquier número
- Todo número distinto de 0 es divisor de sí mismo.
- Todo número, exceptuando el cero, tiene siempre dos divisores como mínimo: el 1 y él mismo.
- Todos los divisores de un número a han de ser mayores que 1 y menores que a. Por lo tanto, el conjunto de todos los divisores de un número es un conjunto finito de valores.
- Existen números que pueden ser divisores de varios números distintos.
- Si un número es divisor de otros dos, también lo es de su suma y de su diferencia.
- Si un número es divisor de otro, también lo es de cualquier múltiplo del primero.
- Si un número es divisor de otro, y éste lo es de un tercero, el primero lo es del tercero.
- Si un número a es divisor de otro número b, entonces el cociente de esa división también es divisor de b. Por ejemplo, si 6 es divisor de 18, el cociente, que en este caso es 3, también es divisor de 18 (efectivamente 18 : 3 = 6 y la división es exacta).
- Los números que solo tienen por divisores a 1 y a sí mismos se llaman números primos. Por ejemplo, 11 es un número primo porque solo podemos realizar divisiones exactas con él si lo dividimos entre 1 o entre 11.
- Los números que no son primos, es decir, que tienen más divisores que el 1 y él mismo, se denominan números compuestos
- Si dos o más números no tienen divisores comunes, exceptuando el 1; entonces se dice que los números son primos entre sí.
Método para calcular todos los divisores de un número
- Factorizamos el número en factores primos.
- Construimos una tabla con las potencias de los factores primos, donde ubicamos en las cabezas de filas y columnas dichas potencias.
- Multiplicamos las filas por las columnas
- Escogemos todos números que están en dicha tabla, es decir las potencias de los factores primos y los resultados de las multiplicaciones.
Ejemplo. Calcula todos los divisores de 72.
Factorizamos 72:
Por lo tanto, 72 = 23 • 32.
Construimos una tabla con las potencias de los factores primos:
Los números contenidos en la tabla, más el 1, serían todos los divisores de 72. Expresado de otra forma:
Div(72) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72}
Para comprobar que los tenemos todos, existe un método rápido para saber cuántos divisores tiene un número: sumamos 1 a los exponentes de sus factores primos y multiplicamos el resultado. Vamos a verlo con el ejemplo anterior. Ejemplo: queremos saber cuántos divisores tiene 72. Al factorizar 72 tenemos que 72 = 23 • 32. Sumamos 1 a los exponentes del 2 y del 3: 3+1 y 2+1. Multiplicamos los resultados: (3+1) • (2+1) = 4 • 3 = 12. El número 72 tiene 12 divisores.
Véase también
Fuentes
- Sócrates Rosell Franco. Aritmética. Volumen I. Segunda Edición.
- Microsoft Encarta. Múltiplo de un número. Divisores de un número.
