Poliedro regular
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Poliedro regular. Cuerpo geométrico cerrado, limitado por caras poligonales, que tiene diversas aplicaciones matemáticas y prácticas.
Sumario
Definiciones alternativas
- Por poliedro se considera un sólido cuya superficie consta de una cierta cantidad de caras poligonales.
- Tratándose de poliedros regulares todos los polígonos son congruentes y todos sus ángulos en los vértices son iguales.
- Un poliedro es simple si no hay en él agujeros; o bien si su superficie puede ser deformada con continuidad hasta asumir la superficie de una esfera. [1]
Poliedro
Un poliedro es, en el sentido dado por la geometría clásica al término, un cuerpo geométrico cuyas caras son planas y encierran un volumen finito. La palabra poliedro viene del griego clásico, de la palabra πολύεδρον, de poli muchas y edron caras.
Los poliedros se conciben como cuerpos tridimensionales, pero hay semejantes topológicos del concepto en cualquier dimensión. Así, el punto o vértice es el semejante topológico del poliedro en cero dimensiones, una arista o segmento lo es en 1 dimensión, el polígono para 2 dimensiones; y el polícoro el de cuatro dimensiones. Todas estas formas son conocidas como politopos, por lo que podemos definir un poliedro como un polítopo tridimensional.
Elementos de un poliedro
- Caras: Polígonos que limitan al poliedro.
- Aristas: Segmentos intersección de las caras.
- Vértices: Puntos de intersección de las aristas.
Poliedros regulares
Poliedro regular es aquel que cumple:
- Sus caras son Polígonos regulares iguales.
- Todos los vértices tienen el mismo orden.
Se llama orden de un vértice de un poliedro, al número de caras (o aristas) que concurren en él.
Sólo existen un total de nueve poliedros regulares diferentes, divididos en dos familias.
- poliedros regulares Convexos, conocidos como Sólidos platónicos.
- poliedros regulares Cóncavos, conocidos como Sólidos de Kepler-Poinsot
Los sólidos platónicos o sólidos de Platón son poliedros regulares y convexos. Sólo existen cinco de ellos: el tetraedro, el cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro. El nombre del grupo proviene del hecho de que los griegos adjudicaban a estos cuerpos cada uno de los "elementos fundamentales": tierra, agua, aire y fuego, y el restante, el dodecaedro, a la divinidad. Los sólidos platónicos son el inicio del estudio de los poliedros; de estos se derivan los sólidos de Arquímedes y los de Kepler-Poinsot, que a su vez siguen generando más familias.
Los cinco poliedros regulares convexos fueron observados por Platón, quien maravillado por sus propiedades, asoció cada uno de ellos a un "elemento" primigenio de su filosofía (aire, agua, tierra y fuego). Curiosamente, asoció el dodecaedro al "quinto elemento" o ente espiritual de su teoría de la materia. En esta estructura de pensamiento muchos ven la génesis de la teoría molecular, pues muchos elementos cristalinos tienen una estructura atómica que obedece a la forma de tales poliedros.
La combinación de poliedros regulares desarrolla superficies poliédricas que pueden ser aprovechadas en Arquitectura, Ingeniería, Diseño industrial. Estas combinaciones de poliedros regulares son poliedros arquimedianos o el poliedro de catalán.
Figuras de los poliedros regulares convexos
Aplicaciones prácticas
La combinación de poliedros regulares desarrolla superficies poliédricas que pueden ser aprovechadas en arquitectura, ingeniería, diseño industrial
Las combinaciones de poliedros regulares pierden regularidad pero a la vez mantienen varias de las propiedades de los propios poliedros regulares. La mayoría de los poliedros arquimedianos tienen iguales valores angulares, lo que se puede aprovechar para generar empaquetamientos y agregaciones. El sistema poliédrico es tan estable que permite elevar estructuras altas y resistentes con materiales tan ligeros como el Bambú.
La combinación de poliedros regulares se utiliza a menudo en diseño industrial y también en Arquitectura para células constructivas, habitaciones, Mallas espaciales planas, Cúpulas geodésicas, etc., e incluso en épocas anteriores para cúpulas de piedra (bóvedas de crucería renacentistas). Las combinaciones poliédricas también aparecen en la naturaleza, tanto en la estructura de diversos minerales como en elementos estructurales de seres vivos.
El Tetraedro Regular es el punto de partida para Escolleras que necesitan una resistencia especial. El Tetrapodo, cuatro conos de revolución situados desde los vértices hasta el centro de un Tetraedro, se utiliza en las escolleras del norte de Francia desde los años 50 y en las costas de Sudáfrica se usa el Dolos, asimismo conos de revolución dispuestos basándose en la figura del Tetraedro Regular.
La combinación de tetraedros también se ha utilizado en proyectos de arquitectura habitacional que tiene como objetivo la rápida construcción y puesta a punto de viviendas prefabricadas. En Europa se construyó en masa estás células habitacionales, aunque los resultados óptimos se han obtenido en lugares económicamente boyantes como Canadá. Las aplicaciones más primarias formalmente partían del cubo y también se han utilizado en formas tetraédicas u octaédricas.
Las estructuras de base Poliédrica, como la Cúpula Geodésica, sirven en arquitectura para construir estructuras muy livianas y cubrir grandes espacios. Su desarrollo se debe a las investigaciones de Buckminster Fuller en los años 50 y tienen su origen en las estructuras de los Radiolarios Protozoos que habitan en las profundidades marinas.
Las estructuras Reticulares, como la cúpula geodésica, las mallas espaciales planas o las estructuras alabeadas, son estructuras livianas que permiten adaptar su forma a las necesidades de cada proyecto. Se componen de los nudos y las barras, pudiendo ser desmontables y por tanto recuperables. Tienen numerosas aplicaciones en arquitectura, tanto efímera como fija.
Fórmula de Euler
El estudio de los poliedros contó con un interés privilegiado en la geometría griega, sin embargo, se debe a Descartes y a Euler el descubrimiento del hecho:
En un poliedro simple, el número de caras más el número de vértices menos el número de aristas es igual a 2.
Si C designa el número de caras; V, el de vértices y A, el número de aristas verifica.
C + V - A = 2 [2]
Fuentes
Información consultada en las páginas web:
- Disfruta las Matemáticas
- Webcache
- Web del profesor
- Vitutor
- Profesor en línea
Referencias y notas
Enlaces externos
- http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/poliedros.html
- http://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:B_qCb9SlKfwJ:es.wikipedia
- http://webdelprofesor.ula.ve/nucleotrujillo/alperez/teoria/cap_01a-conceptos_geometricos/06a-solido-poliedro.htm
- http://www.vitutor.net/2/2/10.html
- http://www.profesorenlinea.cl/geometria/PoliedroElementos.htm
