Ecuación algebraica cúbica

Ecuación algebraica cúbica. Nombra a una de las clases de ecuaciones algebraicas con una incógnita es aquella de grado tres. Se sabe que en forma aislada algunas de las cúbicas se hayan resuelto en babilonia, India, China y Grecia. pero no se disponía deuna fórmula como la hay para las ecuaciones cuadráticas. En el Renacimiento europeo hubo interés de inventar una fórmula, la que consiguió Tartaglia, pero que la publicó Cardano,en su obra Ars Magna, desatando una polémica entre los expertos por la autoría del invento . La posibilidad de su solución abrió la puertas de un nuevo conjunto, el de los números complejos; apareciendo la llamada unidad imaginaria, o sea la raíz cuadrada de -1. Y colateralmente, Galois, dio el genial aporte de la teoría de grupos, como también Abel: que no hay fórmulas para ecuaciones de grado no menor de 5.

Forma canónica

ax³ +bx² +cx +d = 0

siendo a,b,c,d.números racionales y a ≠ o

Raíces

Si hablamos de una ecuación con coeficientes enteros, existe por lo menos una raíz real, las otra pueden ser reales o complejas conjugadas.

Resolución

La ecuación completa mónica y³ +ay² +by +c = o se lleva a la forma reducida haciendo y= x -a/3, sale

x³ +px +q = 0 (I)

Por el teorema fundamental la ecuación (I) tiene tres raíces complejas. sea k una de las raíces . Tomemos una incógnita auxiliar u y analicemos el polinomio

f(u) = u² -ku -p/3

sus coeficientes son complejos y las raíces por la fórmula de Vieta satisfacen:

α+β =k

αβ=-p/3 (II)que poniendo en (I) da

(α+β)³ +p(α+β)+ q = 0, a su vez

α³+ β³ +(3αβ+p)( α+β)+ q = 0

Pero 3αβ+p = 0; reultado que conlleva

α³ + β³ = -q

Por otro lado de (II) se deriva

α³β³ = -p³ /27

Los resultados anteriores muestran que

α³ y β³ son raíces de la ecuación cuadrática

z² +qz -p³ /27 = 0 resoviendo se obtiene

z =-q/2 ±(q² +p³ )^0.5

De lo cual hallamos:

α = ( -q/2 +(q² +p³ )^0.5 )^1/3, β = ( -q/2 -(q² +p³ )^0.5 )^1/3

u es la suma α+β, haciendo combinaciones adecuadas con las tres raíces posibles de α y de β se obtiene los valores de u.

Así se llega a la fórmula de Tartaglia-Cardano, que en la práctica se usa.

Véase además

• Ecuación algebraica
• Polinomio
• Cardano
• Tartaglia

Fuentes

• Curso de álgebra superior de Kúrosch
• Teoría de Ecuaciones de Uspensky
• Álgebra superior de Hall & Knight